Alexander Melnikov a fait ses études au Conservatoire de Moscou, auprès de Lev Naumov. Ses rencontres avec Sviatoslav Richter, qui l’invita régulièrement à ses festivals en Russie et en France, comptent parmi les expériences les plus marquantes de sa vie musicale. Il est lauréat de nombreux concours comme le Concours international Robert-Schumann (1989) et le Concours musical Reine-Elisabeth à Bruxelles (1991). Ses choix musicaux et programmatiques sont souvent insolites. Très tôt, Alexander Melnikov a commencé à se consacrer à la pratique de l’interprétation historique, motivé par Andreas Staier et Alexei Lubimov avec qui il a réalisé de nombreux projets. Il donne régulièrement des concerts avec des ensembles réputés de musique ancienne tels le Freiburger Barockorchester, Musica Eterna, l’Akademie für Alte Musik Berlin ou encore l’Orchestre des Champs-Élysées. Il a joué en soliste avec l’Orchestre du Concertgebouw d’Amsterdam, l’Orchestre du Gewandhaus de Leipzig, l’Orchestre de Philadelphie, l’Orchestre du NDR-Philharmonie de l’Elbe (Hambourg), l’Orchestre symphonique de la Radio de Francfort, les Orchestre philharmoniques de Munich, Rotterdam et de la BBC. Il a travaillé avec des chefs d’orchestre comme Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi, Thomas Dausgaard, Maxim Emelyanychev et Vladimir Jurowski.
Avec Andreas Staier, Alexander Melnikov a enregistré et joué en concert un programme pour quatre mains exclusivement consacré à Schubert. Il accorde une grande importance à la musique de chambre, en duo avec Jean-Guihen Queyras ou avec Isabelle Faust, sa partenaire musicale de longue date. Récompensé par le Gramophone Award et l’ECHO Klassik 2010 et nommé pour le Grammy, leur enregistrement de l’intégrale des sonates pour violon et piano de Beethoven chez Harmonia Mundi font désormais référence. En 2015 est paru leur enregistrement des sonates pour violon et piano de Brahms, suivi par celui des sonates pour violon et piano de Mozart en 2018. Les Préludes et Fugues op. 87 de Chostakovitch, également chez Harmonia Mundi, ont reçu le prix du BBC Music Magazine 2011, le Choc de Classica 2010 et le prix annuel de la critique discographique allemande. En 2011, le BBC Music Magazine a classé cet album parmi les 50 enregistrements les plus importants de tous les temps. Avec Isabelle Faust, Jean-Guihen Queyras, Pablo Heras-Casado et le Freiburger Barockorchester, Alexander Melnikov a enregistré une trilogie Schumann avec les concertos et les trios avec piano (sortie en 2015-2016), ainsi que le Triple Concerto de Beethoven (2021). En 2023 est paru Fantasie – Seven Composers Seven Keyboards, album dans lequel, comme dans son programme Many Pianos, il joue les pièces sur les instruments de leur époque.
Les points forts de la saison 2023/2024 sont la tournée de concerts d'Alexander Melnikov en Australie avec le Orchestres symphoniques de Melbourne et Sydney, sa résidence à la Philharmonie de Cologne, des représentations avec l'orchestre Les Siècles et François-Xavier Roth, des concerts l’Orchestre d’État de Bavière, l’Orchestre symphonique d'Atlanta, l’Orchestre symphonique de la Radio de Finlande, l’Orchestre philharmonique de Londres, le Mahler Chamber Orchestra, l'Orchestre de chambre de Munich ou l'orchestre baroque B'Rock de Belgique. Alexander Melnikov poursuit son travail de musique de chambre avec des partenaires tels qu'Isabelle Faust, Antoine Tamestit et Jean-Guihen Queyras. Il se produit avec eux à la Philharmonie de Paris, à la Philharmonie Luxembourg, à la Philharmonie de Cologne, au Muziekgebouw d'Amsterdam, au Mozarteum de Salzbourg, au Musikfest de Berlin, au Klavierfestival Ruhr et au Wigmore Hall de Londres. Des récitals à la Philharmonie de Berlin, au Toppan Hall de Tokyo, au Wigmore Hall, au Muziekgebouw d'Amsterdam ou au Prinzregententheater de Munich complètent cette saison d'Alexander Melnikov.